随机变量的函数是否还是随机变量？函数需要满足什么要求？
离散随机变量的函数若是随机变量，其分布列如何计算？
一元连续随机变量的函数若是随机变量，其分布函数如何？是否存在密度函数？
随机向量的函数（和、商、顺序统计量）的分布如何？若是稍复杂的函数呢？
随机变量（向量）的函数若是随机变量，相互之间独立的条件是？
随机变量的函数是否还是随机变量，函数需要满足什么要求？
随机变量是定义在概率空间上的实值函数，它将样本点映射到实数集上，而且要求实数集上的博雷尔点集的原像被包含在事件域内，即是事件。
所以我们要求随机变量的函数映射出的一切博雷尔点集的原像都是博雷尔点集。
，若对一切 中的博雷尔点集 均有 ，则称 是一元博雷尔（可测）函数
，若对一切 中的博雷尔点集 均有 ，则称 是n元博雷尔（可测）函数
因此，对于一元随机变量 ，以及一元博雷尔函数 ， 是定义在概率空间 上的随机变量；对于n元随机向量 ，以及n元博雷尔函数 ， 是定义在概率空间 上的随机变量
离散随机变量的函数若是随机变量，其分布列如何计算？
例子（离散卷积公式）： 是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值，其概率分布分别是 ，则随机变量 的概率分布可以这样计算： ，则
一元连续随机变量的函数若是随机变量，其分布函数如何？是否存在密度函数？
分两种情况讨论，随机变量的函数 严格单调，以及随机变量的函数 在不重叠的区间上逐段严格单调
若 严格单调，则其存在具有连续导函数的反函数 ，则 是具有密度函数 的连续型随机变量
若 在不重叠的区间 上逐段严格单调，其反函数分别为 ，而且 均为连续函数，则 是连续型随机变量，其密度函数为 ，推导如下：
随机向量的函数（和、商、顺序统计量）的分布如何？若是稍复杂的函数呢？
是独立同分布的随机变量，分布函数为 ，密度函数为 ，将它们升序排列后得到
对于 存在唯一的反函数 ，且 的联合分布函数是 ，则其分布函数为
随机变量的函数若是随机变量，相互之间独立的条件是？
是相互独立的随机变量， 是任意的一元博雷尔函数， 是任意的一维博雷尔点集，则有