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  • 概率论与数理统计

概率空间

如何定义事件域？如何定义概率？

先从几何概型说起，我们这样描述几何概型：
在区域 中随机选取一点，这点落在某区域 之中的概率为
考虑浦丰投针问题：
在平面上画一些等距的平行线，平行线之间的距离为 ，针长为 ， 表示针与平行线的夹角，则针与平行线相交的概率可以这样考虑：令 表示针的中点到最近一条平行线的距离，则
几何概率的性质：
非负性：对任何概率 ，
规范性：
可列可加性：若 两两不相容，则
从浦丰投针问题我们看到，想要描述概率，需要先定义事件域，以及如何度量事件，进而定义概率

样本空间：抽象的样本点 全体构成样本空间
事件：事件 定义为样本空间 的一个子集，它包含若干样本点，事件发生当且仅当事件所包含的样本点中有一个发生
-域：满足以下三个要求的 的子集构成的集类
（i）
（ii）若 ，则
（iii）若 ，则
事件域：若 是由样本空间 的子集构成的一个 -域，则称 为事件域， 中的元素称为事件
概率：定义在事件域 上的一个集合函数 称为概率，若它满足如下三个要求：
非负性：
规范性：
可列可加性：若 ，且两两不相容，则
概率空间的例子：
有限概率空间：
古典概型是有限概率空间的特例，此时所有样本点都被看做事件
离散概率空间：
样本空间 由可列个点 构成，样本点被看作事件，则概率由一组满足 的可列个非负整数 定义，其中
:
样本空间由实数全体构成，此时不能选取 中的一切子集构成事件域，二应该选取直线上的左闭右开区间（博雷尔点集）全体构成事件域；
类似地，若不是实数全体，也可采用类似方法处理
:
选择n维欧氏空间中的博雷尔点集全体构成事件域

补充：

概率相关公式
概率加法公式：
一般加法公式：
布尔不等式：
Bonferroni不等式：

关于事件域的选取
虽说一般的样本空间的所有子集构成的集类可以证明是一个 -域，但过大的事件域会给概率的定义带来困难，例如几何概型就不会把不可测集作为事件；
特别地，有限概率空间和离散概率空间可以选取 的子集全体作为事件域

可列可加性的充要条件
若 是 上满足 的非负几何函数，则它具有可列可加性的充要条件为：
（i）它是有限可加的
（ii）它是下连续的，即若 ，则

例题
1）积分计算的蒙塔卡罗方法
2）（最大车牌号问题）某型号卡车有N辆，标号从1到N，随机重一个路口开过，经过此路口时车子的标号被记下，问超导的最大号码正好是k的概率
记事件 为抄到的最大车牌号为k，事件 为抄到的车牌号不大于k
3）（匹配问题）n封信随机匹配n个信封，每封信与每个正确的信封只有一种正确的一一对应关系，求至少有一封信匹配正确的概率
使用一般的概率加法公式














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