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  • 概率论与数理统计

随机变量

如何定义随机变量？
什么是分布？
随机变量的分布和随机变量的函数的分布如何描述？

随机变量与分布函数

随机变量
定义在概率空间 上的，把样本点映射到实数集的单值实函数 ，满足对于直线上任意博雷尔点集 ，有 ，则称为随机变量， 称为随机变量 的概率分布
分布函数
称 为随机变量 的分布函数
分布函数的性质
（i）单调性：若 ，则
（ii）有界性：
（iii）左连续性： ，（对应于概率的下连续性）
连续型随机变量分布函数的绝对连续性
连续型随机变量特殊在于其分布函数是绝对连续的，即对于其分布函数 ， ，使得任意有限个在定义域内不相交的区间 ，若满足 ，则有
由于其分布函数 绝对连续，所以存在可积函数 ，使得
密度函数
满足 的可积函数 称为随机变量 的密度函数
随机向量（n维随机变量）
若随机变量 定义在同一概率空间 上，则称 为一个n维随机向量，或n维随机变量
随机向量的（联合）分布函数
对于 中的n维矩形 ，有 ，对于 上的任意博雷尔点集 ，也有
称n元函数 为随机向量 的（联合）分布函数
随机向量的（联合）分布函数的性质
（i）单调性：关于每个变元是非减函数
（ii）有界性：
（iii）左连续：关于每个变元左连续
（iv）不等式：对任意 ，有







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