特征函数 - 深度笔记

概率论与数理统计

特征函数的定义
若随机变量  的分布函数为  ，则称  为  的特征函数
离散型：对于分布列为  的离散型随机变量，则其特征函数为  
特别地，对于整值随机变量，若其母函数为  ，则  
连续型：对于密度函数为  的连续型随机变量  其特征函数为  

特征函数的基本性质
1）图像性质
  
2）一致连续：特征函数在  上一致连续
证明：
  ，由于在  上，  ，  ，此时有
  
3）非负定性：对于特征函数  任意正数  ，任意实数  以及任意复数  ，成立  
证明：
  
4）两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之积
设  是两个相互独立的随机变量，且  ，于是  
5）随机变量有n阶矩存在，则它的特征函数n次可微，且当  时，有  
证明：
  ，由于  阶矩存在，故  ，因此有  
令  ，则有  
6）若随机变量有n阶矩存在，则它的特征函数可以展开
由5）知  可在  附近做Taylor展开，展式为  
7）随机变量的线性变换的特征函数
随机变量  的特征函数为  ，则随机变量  ，则  的特征函数为  

例子
退化分布的特征函数
  
二项分布  的特征函数
  
泊松分布  的特征函数
  
  分布  的特征函数
  
指数分布  的特征函数
即  ，特征函数为  
  分布的特征函数
即  ，特征函数为  
正态分布的特征函数
对于  ，  ，故有  ，解得  ，又  ，故  
对于  ，特征函数为  
逆转公式与唯一性定理
逆转公式
设分布函数  的特征函数为  ，  是  的连续点，则  
唯一性定理
分布函数  由其特征函数  唯一决定，特别地，在  的每一连续点上，都有  
进一步，若  ，则相应的分布函数的导数存在并连续，且  


分布函数的应用
再生性
二项分布分布函数再生性
若  ，则  ，其特征函数为  
泊松分布分布函数再生性
若  ，则  ，其特征函数为  
正态分布分布函数再生性
若  ，则  ，其特征函数为  
  分布分布函数再生性
若  ，则  ，其特征函数为  
  分布的再生性
若  ，则  ，其特征函数为  






10 3 3 5 
4 7 5 
0 1 1 
0 2 1 
0 3 3 
1 3 1 
2 3 1 


10 3 3 3
5 0 10
0 1 1
1 2 1
2 3 1

10 5 3 6
5 0 9 1 6
0 1 1
1 2 1
2 3 1
0 4 1
4 5 1
5 3 1

10 4 4 5
6 7 5 0
0 1 1
0 2 1
1 3 1
2 3 1
3 4 1