以二元连续随机向量 为例
连续随机向量的边际密度函数为
条件分布函数为
1） 均为离散型随机变量
则有 （*）
2） 为连续型随机变量， 为离散型随机变量
对于
令 ，得
又
则 （*）
3） 为离散型随机变量， 为连续型随机变量
对于
两边除以 ，令 ，得
又
则 （*）
4） 均为连续型随机变量
则 （*）
由贝叶斯估计量定理得知，损失函数为 时，则 的贝叶斯估计量为
其中条件 为 为连续随机变量且具有密度函数 ，条件 为 为离散随机变量且取值
风险函数 ，是在 给定的情况下，关于 的期望
贝叶斯风险函数 ，是关于 的期望
一致最小风险估计量要求决策函数对于所有 达到一致最小，这种一致性存在需要条件
最大风险最小化估计量要求决策函数对于平均损失达到最大 的损失达到最小，局部的极小不能保证全局对所有 的最小， 所以不能保证一致性，但一致性能保证最大风险最小
求核的作用在于确定后验分布，从而求后验分布的条件期望，得到贝叶斯估计量
即只要知道后验分布的核，即可知道后验分布的密度/分布函数
连续型随机变量所服从的分布，其密度函数为 ，其中 为正的常数，实数域上的gamma函数定义为
其中 函数
其数学期望为
贝叶斯估计中，将未知参数不视为定值，而是有自身分布的随机变量；采用决策函数来估计未知参数或者描述某项决策的价值，而决策函数得选择标准是用损失函数和风险函数来描述的
风险函数
对于决策函数 ，称 为其风险函数。它是损失函数在参数为 时的期望，代表了使用决策函数 估计 的平均损失。
一致最小风险估计量
设 是由决策函数为元素组成的集合，如果有 ，使得 ，则称 为 的一致最小风险估计量。如果进一步要求 ，则是一致最小风险估计量就是一致最小方差无偏估计量。
最大风险最小化估计
设 是由决策函数为元素组成的集合，如果 使得对于任意 ，有 ，即 ，则称 为 的最大风险最小化估计量
如果损失函数为 ，且 ，则参数 的贝叶斯估计量为
简单证明：
1）对于 ， 在 中达到最小几乎处处等价于 在 中达到最小
2）由期望的性质知
设总体 的分布函数为 为 的样本， 是 的贝叶斯估计量， 的先验分布函数为 ，如果风险函数 在 上为常数，则贝叶斯估计量 也是 的最大风险最小化估计量
简单证明：
由于 在 上为常数，所以
由于 的任意性得到 ，即贝叶斯估计量也是最大风险最小化估计量
例题——决策函数为未知参数的估计量
实例
