设随机变量 的数学期望和方差存在，则对任意的 ，有
对于随机变量 与随机变量序列 ，如果对任意的 ，有
假设 是独立的随机变量序列， 如果方差 存在且一致有上界 ，则 服从大数定律
假设 是n重伯努利实验中事件A发生的次数，每次实验中事件A发生的概率是 ，则
（由于没有关于方差一致有界的条件，所以不能用切比雪夫大数定律来证明辛钦大数定律，需要考虑别的方法，如特征函数）
设 的特征函数为 ，则 的特征函数为 ， ，由特征函数的唯一性定理知其分布是退化分布，故 依分布收敛于退化分布，又因依分布收敛于常数与依频率收敛于常数是等价的，故有
1）切比雪夫大数定律要求：相互独立，方差一致有界（没有分布条件）
2）辛钦大数定律要求：相互独立，同分布，期望存在（没有方差条件）
假设 是独立同分布的随机变量序列，如果 存在，则 服从中心极限定理，即对任意实数 ，有 ，当n充分大的时候，有
设随机变量 的特征函数为 ，则 的特征函数为 ，则 的特征函数为 ，而 ，故 ，是标准正态分布的特征函数，由特征函数的唯一性知， 的极限分布是标准正态分布， 依分布收敛于正态分布，即有