自然数集ω 是归纳集, ω 恰好包含一切属于每个归纳集的元素,因而是每个归纳集的子集。注意ω 不是所有归纳集的交集,因为一切归纳集形成不了集合。
提问: {0,1,...,n}×ω 到 ω 的双射如何构造呢?
(五)与0等势的集合只有它自己,特别地,与0等势的自然数只有它自己。
(七)设B是自然数n的真子集,则存在一个自然数m<n,使得 B≈m 。
这说明任何有限集不可能与它的真子集等势,如果某个集合与其某一真子集等势,则这个集合是无限集。
(八)任意无穷集都有一子集与自然数集等势,即自然数集总是受制于无穷集
证明:基于选择公理,可以从A中选择 ,从 中选择 ,从 中选择 。
由于A是无穷集,所以按照这样的步骤无休止进行下去可以得到集合 ,这是A的子集,且与 等势。
证明:由结论(八)知 ,于是存在单射 ,令 ,B是A的真子集;
这个结论说明没有势最大的集合,因为任何集合,其幂集的势肯定必其自身的势更大