存在公理0，外延公理1，分离公理2，对集公理3，并集公理4，幂集公理5，无穷公理6，正则公理7，替换公理8
这个公理表明，至少存在一个集合，这是为了规定，集合论讨论的集合是存在的
此公理所说的看似显然成立，但是在实际情况中，存在大量的含有相同元素的但却不一样的集合；这条公理规定了在集合论中讨论的抽象集合的相等
这个公理表明，若公式 需要规定一个集合，必须满足的首要条件是：新集合是从已知存在的集合中用公式 分离出来的，亦即存在集合，使得这个公式是定义于这个集合之上的，否则会导致悖论
悖论需要满足两个方向都能推出矛盾，即从给定条件得出的结论 可以推出结论 ，而从结论 可以推出结论
是集合，且根据外延公理，这个集合是唯一的，称为空集
空集是集合证明：由于存在公理0，至少有一个集合存在，又根据分离公理，因而存在集合 ，使得 是集合；
又因条件 是不可满足的， 是永真式， 从而 是集合。
根据外延公理1，这样的集合 是唯一的；单点集 是集合
对于一个集合 ，这样的集合 是唯一的，称为幂集，记为
存在集合 ， ，并且对任意 ， 的后继 也属于 。
正则公理说明：任意集合都不属于自身。否则，若存在集合 ，则令 ，根据正则公理， 的唯一一个元素 ，满足 ，
正则公理规定无穷下降链不存在。因为任意 ，都有 ，因此任意 ，这不符合正则公理。
实际上，若没有正则公理规定无穷下降链不存在，则这种无穷下降链产生的无底集会产生悖论：
令A为所有有底集组成的集合，由A是无底集可推出A中包含无底集，这是矛盾的；有A是有底集可以推出A属于A，因此可以构造无穷下降链，这推出A是无底集，矛盾。