概念
归纳集
自然数集ω 是归纳集， ω 恰好包含一切属于每个归纳集的元素，因而是每个归纳集的子集。注意ω 不是所有归纳集的交集，因为一切归纳集形成不了集合。
Peano公理
归纳原理
有限集
集合A是有限集当且仅当存在自然数n使得 A≈n
结论
（一）开区间（0，1）等势于实数集 R 。
（二）ω×ω≈ω 。
证明方法：单射显然，满射用归纳法证明
提问： {0,1,...,n}×ω 到 ω 的双射如何构造呢？
构造函数f(i,j)=i+nj
（三）ω 不可能等势于实数区间[0,1)。
（四） 。
（五）与0等势的集合只有它自己，特别地，与0等势的自然数只有它自己。
以上五个结论的证明都只需构造简单的双射
（六）对于任何自然数m，n， m≈n⇒m=n 。
归纳法证明
（七）设B是自然数n的真子集，则存在一个自然数m<n，使得 B≈m 。
这说明任何有限集不可能与它的真子集等势，如果某个集合与其某一真子集等势，则这个集合是无限集。
（八）任意无穷集都有一子集与自然数集等势，即自然数集总是受制于无穷集
证明：基于选择公理，可以从A中选择 ，从 中选择 ，从 中选择 。
由于A是无穷集，所以按照这样的步骤无休止进行下去可以得到集合 ，这是A的子集，且与 等势。
（九）任意无穷集都与其某一真子集等势
证明：由结论（八）知 ，于是存在单射 ，令 ，B是A的真子集；
构造A和B之间的双射
（十）可列个可列集的并集可列
（十一）（Cantor定理）
证明： 易证
下面需要证明X不等势于P(X)：构造集合 ，
这个结论说明没有势最大的集合，因为任何集合，其幂集的势肯定必其自身的势更大