Problem Set 9 - 深度笔记

NoteDeep
problem 1
1)3
2)  
3)  
4)1
5)  
6)  

problem 2
1）
若A，B都是无限可列集，不妨设  ，
则  ，其中  ,
因此  是可列集
若A，B有一个无限可列集，一个有限可列集，不妨设  ，A是无限可列集，
B是有限可列集，  ，其中  ，是可列集
若A，B都是有限可列集，不妨设  ，
则  ，其中  ，是可列集
2）
若A，B都是无限可列集，不妨设  ，
则  ，C是按照字典序排序的，因此是可列的
若A，B有一个无限可列集，一个有限可列集，不妨设  ，A是无限可列集，
B是有限可列集，  ，
是可列个可列集的并，因而是可列集；
若A，B都是有限可列集，则  是有限集，因而也是可列集；

problem 3
a)无限可数集，  
b)无限可数集，  
c)有限集
d)无限不可列集
e)无限可列集，  
f)无限可列集，  

problem 4
一定，否则  为可列集，矛盾

problem 5
根据f可以划分A的元素的等价类，设全体等价类的集合  ，对于每一个等价类  ，
选取代表元  ，代表元的全体组成的集合记为  ，由于B与  是等势的，  与
  是等势的，因此B与  是等势的，由于A是可列集，从而  是可列集，从而B是
可列集

problem 6
令  ，  ，f是从A到B的单射，因此  

problem 7
  ，是A到  的函数全体组成的集合，则  ，令  ，
  ，这是一个双射，因此  

problem 8
1)无限可数集，  
2)无限不可数集
3)无限可数集，  
4)无限可数集，  

problem 9
a)A为非负实数集，B为正实数集，A-B={0}
b)A为实数集，B为无理数集，A-B=Q，实数集Q是可列集
c)A为无理数集，B为非正无理数集，A-B为正无理数集

problem10
归纳法
设  为可列个可列集
当n=1时，  是可列的；
当n=2时，  是可列的；
假设  是可列的，则  是可列的；
从而  可列对任意n都是成立的，因此可列个可列集的并集是可列的
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