令 p、q、r 为如下命题：
p：在这个地区发现过灰熊
q: 在乡间小路上徒步旅行是安全的
r: 乡间小路两旁的草莓成熟了
用 p、q、r 和逻辑连接词 (包括否定) 写出下列命题：
a) 乡间小路两旁的草莓成熟了，但在这个地区没有发现过灰熊。
b) 在这个地区没有发现过灰熊，且在乡间小路上徒步旅行是安全的，但乡间小路两旁的草莓成熟了。
c) 如果乡间小路两旁的草莓成熟了，徒步旅行是安全的当且仅当在这个地区没有发现过灰熊。
d) 在乡间小路上徒步旅行是不安全的，但在这个地区没有发现过灰熊且小路两旁的草莓成熟了。
e) 为了使在乡间小路上旅行很安全，其必要但非充分条件是乡间小路两旁的草莓没有成熟且在这个地区没有发现过灰熊。
f) 无论何时再这个地区发现过灰熊且乡间小路两旁的草莓成熟了，在乡间小路上徒步旅行就不安全。
构造 ((p → q) → r) → s 的真值表。
p | q | r | s | p → q | (p → q) → r | ((p → q) → r) → s |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | r | s | p → q | (p → q) → r | ((p → q) → r) → s |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | r | s | p → q | (p → q) → r | ((p → q) → r) → s |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
p | q | r | s | p → q | (p → q) → r | ((p → q) → r) → s |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
验算：
下列各命题的否定是什么？
a) Jennifer 和 Teja 是朋友。
b) 面包师说的一打有 13 个。
c) Abby 每天发送 100 多条文本信 息。
d) 121 是一个完全平方数。
a）Jennifer和Teja不是朋友
b）面包师说的一打没有13个
c）Abby每天发送不超过100条文本信息
d）121不是一个完全平方数
下列哪些是命题？这些命题的真值是什么？
a) 别过去。
不是命题
b) 几点了？
不是命题
c) 在缅因州没有黑苍蝇。
是命题，真值为假
d) 4 + x = 5。
不是命题
e) 月亮是由绿色的奶酪构成的。
是命题，真值为假
f) 2n ≥ 100。
不是命题
判断下列这些条件语句是真是假：
a) 如果 1 + 1 = 2，则 2 + 2 = 5
真值为假
b) 如果 1 + 1 = 2，则 2 + 2 = 4
真值为真
c) 如果 1 + 1 = 3，则 2 + 2 = 5
真值为真
d) 如果 2 + 2 = 4，则 1 + 2 = 3
真值为真
假设在最近的财年期间，Acme 计算机公司的年收入是 1380 亿美元且其净 利润是 80 亿美元，Nadir 软件公司的年收入是 870 亿美元且净利润是 50 亿美元，Quixote 媒体的年收入是 1110 亿美元且净利润是 130 亿美元。
试判断有关最近财年的每个命题的真值。
a) Quixote 媒体的年收入最多。 （真值为假）
b) Nadir 软件公司的净利润最少并且 Acme 计算机公司的年收入最多。 （真值为真）
c) Acme 计算机公司的净利润最多或者 Quixote 媒体的净利润最多。 （真值为真）
d) 如果 Quixote 媒体的净利润最少，则 Acme 计算机公司的年收入最多。 （真值为假）
e) Nadir 软件公司的净利润最少当且仅当 Acme 计算机公司的年收入最 多。 （真值为真）
令 p 和 q 分别表示命题“选举已经有了结果”和“选票已经计数完毕”。
试用汉语表达下列各命题。
a) ¬p
选举还没有结果
b) p ∨ q
选举已经有了结果或者选票已经计数完毕
c) ¬p ∧ q
选票没有计数完毕且选举已经有了结果
d) q → p
若选票已经计数完毕，则选举已经有了结果
e) ¬q → ¬p
若选票没有计数完毕，则选举还没有结果
f) ¬p → ¬q
若选举没有结果，则选票没有计数完毕
g) p ↔ q
若选举已经有了结果，则选票已经计数完毕
h) ¬q ∨ (¬p ∧ q)
要么选票没有计数完毕，要么选举还没有结果且选票已经计数完毕
你有资格当美国总统仅当你已年满 35 岁、出生在美国或者你出生时你的双 亲是美国公民并且你在这个国家至少生活了 14 年。
用 e:“你有资格当美国 总统”，a：“你已年满 35 岁”，b：“你出生在美国”，p：“在你出生的时候， 你的双亲均是美国公民”和 r：“你在美国至少生活了 14 年”来表达你的答 案。
原句用命题表达为：
原命题否定为：
假设在通往两个房间的门上均写着提示。第一扇门上的提示为：“在这个房 间里有一位美女，而在另一个房间里则是一只老虎”；在第二扇门上写着“在两个房间中有一个是美女，并且有一个是老虎”。假定你知道其中一个提示 是真的，另一个是假的。那么哪扇门后面是美女呢？
令 第一扇门后面是人， 第二扇门后面是人。则第一扇门上的提示为 ，第二扇门上的提示为 。已知其中一个提示为真，另一个为假，则有如下过程：
因此第一扇门后为虎第二扇门后为人
不借助真值表，试解释为什么在 p、q 和 r 至少有一个为真并且至少有一个 为假时 (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r) 为真，而当三个变量具有相同真值时为 假。
原命题是主合取范式，由主合取范式得命题得成假赋值为 ，因此当单个变量同时具有相同真值时为假
将原命题化为析取范式，得到 ，因此 至少由一个为真并同时至少一个为假时命原命题才为真